Fiche de synthèse — Cours et travaux dirigés

Propriétés des matériaux

Filière GME — Génie Mécanique et Énergétique · 1^re année · Référence pour les séances de TD

Discipline : Science des matériaux Volume : 4 séances de TD Prérequis : unités SI, contraintes et déformations

Cette fiche rassemble l'essentiel du cours sur les propriétés des matériaux utilisé en TD : le vocabulaire, les propriétés mécaniques, thermiques et électriques, les relations à connaître, puis quatre exercices types entièrement rédigés. Gardez-la ouverte pendant les séances : chaque exercice indique la méthode attendue et les pièges les plus fréquents.

1. Vocabulaire et familles de matériaux

Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle, transformée pour remplir une fonction technique. Le choix d'un matériau ne dépend jamais d'une seule propriété : il résulte d'un compromis entre des exigences mécaniques, thermiques, électriques, économiques et environnementales.

Les quatre grandes familles

Métaux et alliages (acier, aluminium, cuivre, fonte) : rigides, conducteurs, ductiles, recyclables.
Polymères (PE, PVC, PTFE, résines) : légers, isolants, déformables, sensibles à la température.
Céramiques et verres : durs, réfractaires, isolants, mais fragiles.
Matériaux composites (fibres de verre ou de carbone dans une résine) : rapport résistance/masse élevé, propriétés ajustables selon l'orientation des fibres.

1.1 Contrainte et déformation

Deux grandeurs servent de base à toutes les propriétés mécaniques. La contrainte \(\sigma\) mesure l'effort par unité de surface, et la déformation \(\varepsilon\) mesure l'allongement relatif :

\(\sigma = \dfrac{F}{S_0} \qquad \varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0} = \dfrac{L - L_0}{L_0}\)

La contrainte s'exprime en pascals (\(1\ \mathrm{MPa} = 10^{6}\ \mathrm{Pa}\)) et la déformation est sans unité. On distingue la déformation élastique, réversible, de la déformation plastique, définitive.

2. Propriétés mécaniques

2.1 Module d'Young et loi de Hooke

Dans le domaine élastique, la contrainte est proportionnelle à la déformation. Le coefficient de proportionnalité est le module d'Young \(E\), exprimé en MPa ou en GPa :

\(\sigma = E \cdot \varepsilon \qquad E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}\)

Plus \(E\) est grand, plus le matériau est rigide. Attention : rigide ne veut pas dire résistant. Le verre est très rigide mais fragile ; l'acier de construction est à la fois rigide et tenace.

2.2 Limite d'élasticité, résistance et ductilité

Limite d'élasticité \(R_e\) : contrainte au-delà de laquelle les déformations deviennent permanentes.
Résistance à la traction \(R_m\) : contrainte maximale supportée avant la rupture.
Allongement à la rupture \(A\%\) : mesure de la ductilité. Un matériau ductile se déforme beaucoup avant de casser (acier doux) ; un matériau fragile casse presque sans déformation (verre, fonte).
Résilience : énergie absorbée avant rupture, mesurée par un essai de choc (mouton-pendule Charpy).
Dureté : résistance à la pénétration d'un indenteur (essais Brinell, Vickers, Rockwell).
Fatigue : rupture sous contraintes répétées, bien inférieures à \(R_m\).

2.3 Ordres de grandeur à connaître

Matériau	Module d'Young \(E\) (GPa)	Masse volumique \(\rho\) (kg·m⁻³)	Comportement
Acier de construction	200	7 850	ductile
Aluminium	70	2 700	ductile, léger
Cuivre	120	8 900	ductile, conducteur
Verre	70	2 500	fragile
Polymère (PE, PVC)	1 à 3	900 à 1 400	ductile, fluage
Composite fibre de carbone / époxy	70 à 180	1 500 à 1 600	selon orientation

Piège classique en TD

Ne confondez pas masse volumique \(\rho\) (kg·m⁻³) et poids volumique \(\gamma = \rho g\) (N·m⁻³). De même, une contrainte en MPa doit toujours être convertie en Pa avant un calcul de force en newtons.

3. Propriétés thermiques

3.1 Dilatation thermique

Un solide soumis à une variation de température \(\Delta T\) se dilate. Pour une dimension \(L_0\) :

\(\Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T\)

Le coefficient de dilatation linéique \(\alpha\) s'exprime en K⁻¹ (ou °C⁻¹). Cette dilatation est la cause des contraintes thermiques dans les structures bridées, des jeux de dilatation dans les ponts et les tuyauteries, et des contraintes résiduelles après soudage.

3.2 Conductivité et diffusivité thermiques

La conductivité thermique \(\lambda\) (W·m⁻¹·K⁻¹) caractérise l'aptitude d'un matériau à conduire la chaleur. La diffusivité thermique \(a\) décrit la vitesse à laquelle une variation de température se propage :

\(a = \dfrac{\lambda}{\rho \cdot c_p}\)

où \(c_p\) est la chaleur massique (J·kg⁻¹·K⁻¹). La capacité thermique massique indique l'énergie nécessaire pour élever de 1 K la température d'1 kg de matériau :

\(Q = m \cdot c_p \cdot \Delta T\)

3.3 Ordres de grandeur à connaître

Matériau	\(\lambda\) (W·m⁻¹·K⁻¹)	\(\alpha\) (10⁻⁶ K⁻¹)	\(c_p\) (J·kg⁻¹·K⁻¹)
Cuivre	400	17	385
Aluminium	237	23	900
Acier	50	12	460
Verre	1,0	9	800
Polymère (PE)	0,4	150	1 900
Air (immobile)	0,026	—	1 005

Un matériau est dit isolant thermique si \(\lambda < 0{,}1\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}\). Les polymères expansés et les laines minérales entrent dans cette catégorie.

4. Propriétés électriques

4.1 Résistivité et conductivité

La résistance d'un conducteur homogène de longueur \(L\) et de section \(S\) s'écrit :

\(R = \dfrac{\rho_e \cdot L}{S} \qquad \sigma_e = \dfrac{1}{\rho_e}\)

La résistivité \(\rho_e\) s'exprime en \(\Omega\cdot\mathrm{m}\) et la conductivité \(\sigma_e\) en S·m⁻¹. On classe les matériaux en trois catégories :

Conducteurs : \(\rho_e \approx 10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm{m}\) (cuivre, argent, aluminium).
Semi-conducteurs : \(\rho_e \approx 10^{-5}\) à \(10^{3}\ \Omega\cdot\mathrm{m}\) (silicium, germanium).
Isolants : \(\rho_e > 10^{8}\ \Omega\cdot\mathrm{m}\) (verre, polymères, céramiques).

4.2 Effet de la température

Pour un métal, la résistivité augmente avec la température selon une loi quasi linéaire :

\(\rho_e(T) = \rho_{e,0}\left[1 + \alpha_e (T - T_0)\right]\)

où \(\alpha_e\) est le coefficient de température (K⁻¹). Pour les semi-conducteurs, l'effet est inverse : la résistivité diminue quand la température augmente.

Choix d'un matériau conducteur en GME

Le cuivre est le meilleur compromis conductivité/coût pour les câbles et les bobinages. L'aluminium, deux fois moins conducteur mais trois fois plus léger, est préféré pour les lignes aériennes et les échangeurs. L'argent est meilleur conducteur mais son coût le réserve aux contacts de précision.

5. Méthode de résolution d'un exercice sur les matériaux

Démarche en cinq étapes

Identifier la propriété visée : mécanique, thermique ou électrique, et la grandeur demandée.
Relever les données avec leur unité, puis convertir dans le système SI (m, kg, s, N, Pa, W).
Choisir la relation adaptée et l'écrire sous forme littérale avant tout calcul numérique.
Calculer en respectant les chiffres significatifs, puis vérifier l'homogénéité et l'ordre de grandeur.
Interpréter physiquement : le résultat est-il compatible avec le matériau choisi et avec son usage industriel ?

Vérification rapide : une contrainte d'acier de construction dépasse rarement 235 MPa en service, un câble en cuivre de 1 mm² a une résistance d'environ 17 mΩ par mètre, et une barre d'acier de 1 m s'allonge de 0,12 mm pour 10 °C d'écart. Si votre résultat s'écarte fortement de ces ordres de grandeur, reprenez les unités.

6. Exercices types corrigés

Exercice 1Module d'Young et allongement élastique

Une barre en acier de longueur initiale \(L_0 = 2{,}00\ \mathrm{m}\) et de section \(S_0 = 100\ \mathrm{mm^2}\) est soumise à un effort de traction \(F = 20{,}0\ \mathrm{kN}\). On donne \(E = 200\ \mathrm{GPa}\). Calculer la contrainte, la déformation et l'allongement.

Conversion de la section : \(S_0 = 100\ \mathrm{mm^2} = 100\times10^{-6}\ \mathrm{m^2} = 1{,}00\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}\).
Contrainte : \(\sigma = \dfrac{F}{S_0} = \dfrac{20{,}0\times10^{3}}{1{,}00\times10^{-4}} = 2{,}00\times10^{8}\ \mathrm{Pa} = 200\ \mathrm{MPa}\).
Déformation : \(\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = \dfrac{200\times10^{6}}{200\times10^{9}} = 1{,}00\times10^{-3}\).
Allongement : \(\Delta L = \varepsilon \cdot L_0 = 1{,}00\times10^{-3} \times 2{,}00 = 2{,}00\times10^{-3}\ \mathrm{m} = 2{,}00\ \mathrm{mm}\).
Interprétation : la contrainte de 200 MPa reste dans le domaine élastique d'un acier courant (\(R_e \approx 235\ \mathrm{MPa}\)), mais la marge est faible : il faudrait vérifier le coefficient de sécurité en service.

Exercice 2Dilatation thermique d'une barre bridée

Une barre en aluminium de longueur \(L_0 = 3{,}00\ \mathrm{m}\) passe de 20 °C à 60 °C. On donne \(\alpha = 23\times10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}}\). Calculer l'allongement libre, puis la contrainte qui apparaîtrait si la barre était totalement bridée (\(E = 70\ \mathrm{GPa}\)).

Variation de température : \(\Delta T = 60 - 20 = 40\ \mathrm{K}\).
Allongement libre : \(\Delta L = \alpha L_0 \Delta T = 23\times10^{-6} \times 3{,}00 \times 40 = 2{,}76\times10^{-3}\ \mathrm{m} \approx 2{,}76\ \mathrm{mm}\).
Si la barre est bridée, la déformation imposée est \(\varepsilon = \alpha \Delta T = 23\times10^{-6} \times 40 = 9{,}20\times10^{-4}\).
Contrainte thermique : \(\sigma = E \varepsilon = 70\times10^{9} \times 9{,}20\times10^{-4} = 6{,}44\times10^{7}\ \mathrm{Pa} \approx 64{,}4\ \mathrm{MPa}\).
Interprétation : 64 MPa de compression apparaissent sans aucun effort extérieur. C'est pourquoi les tuyauteries et les ponts comportent des joints de dilatation : sans eux, la contrainte s'ajoute à celles du service et peut provoquer le flambement.

Exercice 3Résistance d'un câble en cuivre

Un câble en cuivre de longueur \(L = 50{,}0\ \mathrm{m}\) et de section \(S = 2{,}50\ \mathrm{mm^2}\) alimente un moteur. On donne \(\rho_e = 1{,}70\times10^{-8}\ \Omega\cdot\mathrm{m}\). Calculer la résistance du câble, puis la puissance dissipée par effet Joule pour un courant de \(I = 12{,}0\ \mathrm{A}\).

Conversion de la section : \(S = 2{,}50\ \mathrm{mm^2} = 2{,}50\times10^{-6}\ \mathrm{m^2}\).
Résistance : \(R = \dfrac{\rho_e L}{S} = \dfrac{1{,}70\times10^{-8} \times 50{,}0}{2{,}50\times10^{-6}} = 0{,}340\ \Omega\).
Puissance dissipée : \(P = R I^2 = 0{,}340 \times (12{,}0)^2 = 0{,}340 \times 144 = 49{,}0\ \mathrm{W}\).
Chute de tension : \(U = R I = 0{,}340 \times 12{,}0 = 4{,}08\ \mathrm{V}\).
Interprétation : 49 W perdus en chaleur sur une seule ligne, soit une chute de 4,08 V. Pour réduire ces pertes, on augmente la section du conducteur ou on diminue la longueur : la résistance est proportionnelle à \(L\) et inversement proportionnelle à \(S\).

Exercice 4Choix d'un matériau pour un échangeur

On doit réaliser les tubes d'un échangeur thermique. Deux candidats sont proposés : le cuivre (\(\lambda = 400\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}\), \(\rho = 8\,900\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)) et l'aluminium (\(\lambda = 237\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}\), \(\rho = 2\,700\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)). Comparer les deux matériaux et conclure.

Rapport des conductivités : \(\dfrac{\lambda_{\mathrm{Cu}}}{\lambda_{\mathrm{Al}}} = \dfrac{400}{237} = 1{,}69\) : le cuivre conduit environ 1,7 fois mieux la chaleur.
Rapport des masses volumiques : \(\dfrac{\rho_{\mathrm{Cu}}}{\rho_{\mathrm{Al}}} = \dfrac{8\,900}{2\,700} = 3{,}30\) : le cuivre est 3,3 fois plus dense.
Indicateur de performance massique : \(\dfrac{\lambda}{\rho}\) vaut \(0{,}045\) pour le cuivre et \(0{,}088\) pour l'aluminium, soit environ deux fois mieux pour l'aluminium.
Interprétation : à performance thermique comparable, l'aluminium donne un échangeur nettement plus léger. Le cuivre reste préférable lorsque l'encombrement est critique, que la conductivité maximale est recherchée ou que la résistance à la corrosion par l'eau est déterminante.
Conclusion : le choix dépend du critère dominant — masse, encombrement, coût ou tenue à la corrosion. Aucun matériau n'est optimal sur tous les critères.

7. Formulaire et points de vigilance

Grandeur / situation	Relation à utiliser	Unités SI
Contrainte normale	\(\sigma = F/S_0\)	Pa (MPa = 10⁶ Pa)
Déformation relative	\(\varepsilon = \Delta L / L_0\)	sans unité
Loi de Hooke	\(\sigma = E\,\varepsilon\)	Pa
Dilatation linéique	\(\Delta L = \alpha L_0 \Delta T\)	m ; \(\alpha\) en K⁻¹
Chaleur sensible	\(Q = m\,c_p\,\Delta T\)	J
Diffusivité thermique	\(a = \lambda/(\rho c_p)\)	m²·s⁻¹
Résistance d'un conducteur	\(R = \rho_e L / S\)	\(\Omega\)
Effet Joule	\(P = R I^2\)	W

7.1 Erreurs les plus fréquentes

Confondre rigidité (module d'Young élevé) et résistance (limite d'élasticité ou résistance à la rupture élevée).
Oublier de convertir les mm² en m² avant de calculer une contrainte ou une résistance.
Utiliser \(\Delta T\) en degrés Fahrenheit ou confondre écart de température et température absolue.
Mélanger MPa et Pa dans une même formule, ce qui décale le résultat d'un facteur \(10^{6}\).
Comparer deux matériaux sur une seule propriété sans tenir compte de la masse volumique.
Appliquer la loi de Hooke au-delà de la limite d'élasticité, où elle n'est plus valable.

7.2 Auto-évaluation avant le contrôle

Je sais distinguer les quatre familles de matériaux et donner un exemple d'usage pour chacune.
Je sais calculer une contrainte et une déformation à partir d'un effort et d'une section.
Je sais utiliser la loi de Hooke et interpréter la valeur du module d'Young.
Je sais calculer une dilatation thermique et une contrainte thermique de bridage.
Je sais calculer la résistance d'un conducteur et les pertes par effet Joule.
Je sais justifier le choix d'un matériau à partir de plusieurs critères comparés.

Proprietes des materiaux gme