Devoir surveillé — Arithmétique dans \(\mathbb{N}\)

Divisibilité, division euclidienne et congruences — Tronc commun scientifique — Durée : 1 heure

Nom et prénom : …………………………………… Classe : ……………… Date : ………………………… Note : ……… / 20

Consignes générales

Durée de l'épreuve : 1 heure. Calculatrice non autorisée.
Le sujet comporte trois parties : un QCM (5 points), des exercices d'application (8 points) et un exercice d'approfondissement (7 points).
Pour le QCM, une seule réponse est exacte : cocher la case correspondante, sans justification.
Pour les exercices, rédiger les justifications et encadrer les résultats.
Sauf indication contraire, \(a\), \(b\), \(n\) et \(k\) désignent des entiers naturels.

Partie I — QCM (5 points)

Une seule réponse exacte par question. Chaque bonne réponse rapporte 0,5 point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne retire aucun point.

1. L'entier \(8\) divise \(120\) car :

a) \(120 = 8 \times 15\) b) \(120 = 8 + 112\) c) \(120 > 8\) d) \(120\) est pair
2. Le reste de la division euclidienne de \(250\) par \(7\) est :

a) \(0\) b) \(5\) c) \(6\) d) \(35\)
3. Dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\) (\(b \neq 0\)), le reste \(r\) vérifie toujours :

a) \(0 \leq r \leq b\) b) \(0 \leq r < b\) c) \(0 < r \leq b\) d) \(r = b\)
4. \(a \equiv b \pmod{n}\) signifie que :

a) \(n\) divise \(a + b\) b) \(n\) divise \(a - b\) c) \(a\) divise \(n\) d) \(a = b\)
5. \(17 \equiv \ldots \pmod{5}\) :

a) \(0\) b) \(1\) c) \(2\) d) \(3\)
6. Si \(a \equiv 2 \pmod{7}\) et \(b \equiv 3 \pmod{7}\), alors \(a \times b \equiv \ldots \pmod{7}\) :

a) \(5\) b) \(6\) c) \(1\) d) \(4\)
7. Le reste de la division euclidienne de \(3^{4}\) par \(5\) est :

a) \(0\) b) \(1\) c) \(2\) d) \(4\)
8. Un entier est divisible par \(9\) si et seulement si :

a) il est impair b) son dernier chiffre est \(9\) c) la somme de ses chiffres est divisible par \(9\) d) il est divisible par \(3\)
9. \(n\) est un entier naturel. Le produit \(n(n+1)\) est toujours :

a) impair b) divisible par \(2\) c) divisible par \(4\) d) un carré parfait
10. Le nombre \(4\,321\) est congru modulo \(3\) à :

a) \(0\) b) \(1\) c) \(2\) d) \(3\)

Partie II — Exercices d'application (8 points)

Exercice 1 — Divisibilité et division euclidienne 4 points

Dans chaque cas, dire si l'assertion est vraie ou fausse, en justifiant : \(7 \mid 91\) ; \(12 \mid 150\) ; \(15 \mid 0\).
Effectuer la division euclidienne de \(437\) par \(13\), puis de \(1000\) par \(7\). Écrire chaque fois l'égalité \(a = b \times q + r\) et préciser le quotient et le reste.

Exercice 2 — Restes et congruences 4 points

Déterminer le reste de la division euclidienne de \(2^{10}\) par \(7\), puis de \(3^{5}\) par \(5\).
Sans effectuer les calculs, déterminer le reste de la division euclidienne par \(5\) de \(1234 + 678\), puis de \(1234 \times 678\).

Partie III — Approfondissement (7 points)

Exercice 3 — Chiffres d'un nombre et divisibilité 7 points

Soit \(N\) un entier naturel. On rappelle que \(10 \equiv 1 \pmod{9}\).

Montrer que tout entier naturel est congru modulo \(9\) à la somme de ses chiffres.
En déduire que \(N\) est divisible par \(9\) si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\).
Application : l'entier \(4\,527\) est-il divisible par \(9\) ? par \(3\) ? Justifier.
Soit \(n\) un entier naturel. On pose \(A = n^{3} - n\). Vérifier que \(A = n(n-1)(n+1)\), puis montrer que \(A\) est divisible par \(6\).

Barème indicatif

Partie	Contenu	Points
I	QCM — 10 questions (0,5 point par bonne réponse)	5
II	Exercice 1 — divisibilité et division euclidienne	4
II	Exercice 2 — restes et congruences	4
III	Exercice 3 — chiffres d'un nombre et divisibilité	7
Total		20

La présentation, la rédaction et la justification des réponses sont prises en compte dans la notation de chaque exercice.

Grille de correction rapide (réservée au professeur)

Entourer ou cocher la note attribuée à chaque item, puis reporter le total dans la case « Note finale ». Les points sont cumulables par étape de raisonnement.

Partie I — QCM (5 points)

Question	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Réponse attendue	a	c	b	b	c	b	b	c	b	b
Points obtenus (0 ou 0,5)

Total QCM : ……… / 5

Partie II — Exercices d'application (8 points)

Item évalué	Attendu	Barème
Ex. 1 — question 1 : \(7 \mid 91\)	Vrai, car \(91 = 7 \times 13\)	0,5
Ex. 1 — question 1 : \(12 \mid 150\)	Faux, car \(150 = 12 \times 12 + 6\)	0,5
Ex. 1 — question 1 : \(15 \mid 0\)	Vrai, car \(0 = 15 \times 0\)	0,5
Ex. 1 — question 2 : division de \(437\) par \(13\)	\(437 = 13 \times 33 + 8\) ; \(q = 33\), \(r = 8\)	1,25
Ex. 1 — question 2 : division de \(1000\) par \(7\)	\(1000 = 7 \times 142 + 6\) ; \(q = 142\), \(r = 6\)	1,25
Ex. 2 — question 1 : reste de \(2^{10}\) par \(7\)	\(2^{10} = 1024 = 7 \times 146 + 2\) ; reste \(2\)	1
Ex. 2 — question 1 : reste de \(3^{5}\) par \(5\)	\(3^{5} = 243 = 5 \times 48 + 3\) ; reste \(3\)	1
Ex. 2 — question 2 : reste de \(1234 + 678\) par \(5\)	\(1234 \equiv 4\) et \(678 \equiv 3 \pmod{5}\), donc reste \(2\)	1
Ex. 2 — question 2 : reste de \(1234 \times 678\) par \(5\)	\(4 \times 3 = 12 \equiv 2 \pmod{5}\), donc reste \(2\)	1
Total Partie II		8

Partie III — Approfondissement (7 points)

Item évalué	Attendu	Barème
Ex. 3 — question 1 : congruence modulo \(9\)	Écriture décimale et \(10 \equiv 1 \pmod{9}\), donc \(N\) congru à la somme de ses chiffres	2
Ex. 3 — question 2 : critère de divisibilité par \(9\)	Équivalence déduite de la question 1	1,5
Ex. 3 — question 3 : \(4\,527\) divisible par \(9\) et par \(3\)	Somme des chiffres \(= 18\), divisible par \(9\) et par \(3\) : oui aux deux	1,5
Ex. 3 — question 4 : factorisation de \(A\)	\(A = n(n-1)(n+1)\)	0,5
Ex. 3 — question 4 : \(A\) divisible par \(6\)	Produit de trois entiers consécutifs : divisible par \(2\) et par \(3\), donc par \(6\)	1,5
Total Partie III		7

Récapitulatif	Partie I — QCM	Partie II — Application	Partie III — Approfondissement	Note finale
Barème	5	8	7	20
Note obtenue

Remarque ou conseil pour l'élève : ……………………………………………………………………………………………………………………………

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