Devoir maison — Dérivées et Intégrales

Exercice 1 Calcul de dérivées 6 points

1. Rappeler la définition du nombre dérivé de \(f\) en \(a\), puis calculer \(f'(2)\) pour \(f(x)=x^2-3x+1\) en utilisant cette définition (limite du taux d'accroissement). (1,5 pt)

2. Dériver les fonctions suivantes après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité. (3 pts)

N°	Fonction \(f(x)\)	Dérivée \(f'(x)\)
a	\(f(x)=3x^4-5x^2+7x-2\)
b	\(f(x)=(2x+1)(x^2-3)\)
c	\(f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\)
d	\(f(x)=\sqrt{x^2+4}\)
e	\(f(x)=(3x+1)^5\)
f	\(f(x)=\cos(2x)+\sin x\)

3. Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par un calcul ou un contre-exemple. (1,5 pt)

Affirmation	Vrai	Faux
Pour toutes fonctions \(u\) et \(v\) : \((uv)'=u'v'\).	☐	☐
La fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).	☐	☐
Si \(f'(a)=0\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\).	☐	☐

Exercice 2 Applications de la dérivation 5 points

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=x^3-3x+2 \]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1,5 pt)

\(x\)
Signe de \(f'(x)\)
Variations de \(f\)

3. Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a=1\). (1 pt)

4. En déduire que \(f\) admet un maximum local et un minimum local, et préciser leurs valeurs. (1,5 pt)

Exercice 3 Primitives 4 points

1. Rappeler la définition d'une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\). Pourquoi deux primitives d'une même fonction diffèrent-elles d'une constante ? (1 pt)

2. Déterminer une primitive \(F\) de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. (2 pts)

N°	Fonction \(f(x)\)	Intervalle
a	\(f(x)=4x^3-6x+1\)	\(\mathbb{R}\)
b	\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)	\(]0,+\infty[\)
c	\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)	\(]0,+\infty[\)
d	\(f(x)=\cos x+\sin x\)	\(\mathbb{R}\)

3. Déterminer la primitive \(G\) de \(f(x)=2x(x^2+1)^3\) sur \(\mathbb{R}\) qui vérifie \(G(0)=0\). (1 pt)

Indication : reconnaître la forme \(u'u^n\) avec \(u(x)=x^2+1\).

Exercice 4 Intégrales et calcul d'aires 5 points

1. Calculer les intégrales suivantes. (2 pts)

N°	Intégrale	Résultat
a	\(\displaystyle\int_{0}^{2}(3x^2-2x)\,\mathrm{d}x\)
b	\(\displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\)
c	\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x\)

2. Soit \(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\). Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0,2]\). (1 pt)

3. Calculer l'aire, en unités d'aire, de la région limitée par la courbe de \(f(x)=x^2\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=2\). (1 pt)

4. Soit \(g(x)=x^2-4\) sur \([0,2]\). Étudier le signe de \(g\) sur \([0,2]\), puis calculer l'aire de la région limitée par la courbe de \(g\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=2\). (1 pt)

Devoir derivees integrales tronc commun