Mathématiques · Tronc commun scientifique

Devoir maison : Dérivées et Intégrales

Sujet d'entraînement en 4 exercices — dérivées, applications, primitives, intégrales et aires. Barème total : 20 points.

Durée conseillée : 2 h Sujet seul — sans corrigé Calculatrice non programmable

Avant de commencer

Consignes générales

Déroulement

Le sujet comporte 4 exercices obligatoires.
Durée conseillée : 2 heures.
Le barème est indiqué au début de chaque question.
Traiter les exercices dans l'ordre de votre choix.

Rédaction attendue

Justifier chaque réponse par un calcul ou un raisonnement.
Préciser l'ensemble de dérivabilité avant de dériver.
Encadrer les résultats finaux.
Soigner la présentation et l'écriture des formules.

Plan du sujet

Exercice 1 — Dérivées (5 pts) Exercice 2 — Applications de la dérivation (5 pts) Exercice 3 — Primitives (5 pts) Exercice 4 — Intégrales et aires (5 pts)

Exercice 1

Dérivées

Définition du nombre dérivé, calcul de dérivées et vrai/faux

5 points

1. Rappeler la définition du nombre dérivé de \(f\) en \(a\), puis calculer \(f'(2)\) pour \(f(x)=x^2-3x+1\) en utilisant cette définition (limite du taux d'accroissement). (1,5 pt)

2. Dériver les fonctions suivantes après avoir précisé leur ensemble de dérivabilité. (3 pts)

N°	Fonction \(f(x)\)	Dérivée \(f'(x)\)
a	\(f(x)=3x^4-5x^2+7x-2\)
b	\(f(x)=(2x+1)(x^2-3)\)
c	\(f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}\)
d	\(f(x)=\sqrt{x^2+4}\)
e	\(f(x)=(3x+1)^5\)
f	\(f(x)=\cos(2x)+\sin x\)

Exercice 1 — suite

Vrai ou faux ?

Justifier chaque réponse par un calcul ou un contre-exemple

1,5 pt

Affirmation	Vrai	Faux
Pour toutes fonctions \(u\) et \(v\) : \((uv)'=u'v'\).	☐	☐
La fonction \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).	☐	☐
Si \(f'(a)=0\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\).	☐	☐

Rappel de méthode

Pour réfuter une affirmation, un seul contre-exemple suffit. Pour la confirmer, il faut un raisonnement valable dans tous les cas.

Exercice 2

Applications de la dérivation

Étude d'une fonction polynôme et de sa courbe

5 points

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\[ f(x)=x^3-3x+2 \]

On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Questions

Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
Dresser le tableau de variations de \(f\). (1,5 pt)

Questions (suite)

Déterminer les extremums locaux de \(f\). (1 pt)
Écrire l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(0\). (1,5 pt)

Exercice 2 — aide

Méthode : étudier les variations

Dériver

Calculer \(f'(x)\) à l'aide des formules de dérivation.

Étudier le signe

Résoudre \(f'(x)=0\), puis déterminer le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle.

Conclure

En déduire le sens de variation, les extremums et le tableau de variations.

Formules utiles

\((uv)'=u'v+uv'\) · \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) · \((u^n)'=nu'u^{n-1}\) · \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)

Exercice 3

Primitives

Calcul de primitives et condition initiale

5 points

1. Vérifier que la fonction \(F\) définie par \(F(x)=x^3-2x^2+x\) est une primitive de \(f(x)=3x^2-4x+1\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

2. Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué. (3 pts)

N°	Fonction \(f(x)\)	Intervalle
a	\(f(x)=6x^2-4x+5\)	\(\mathbb{R}\)
b	\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)	\(]0,+\infty[\)
c	\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)	\(]0,+\infty[\)
d	\(f(x)=\cos x+\sin x\)	\(\mathbb{R}\)

3. Déterminer la primitive \(G\) de \(f(x)=2x(x^2+1)^3\) sur \(\mathbb{R}\) qui vérifie \(G(0)=0\). (1 pt)

Indication : reconnaître la forme \(u'u^n\) avec \(u(x)=x^2+1\).

Exercice 4

Intégrales et calcul d'aires

Calcul d'intégrales, valeur moyenne et aires

5 points

1. Calculer les intégrales suivantes. (2 pts)

N°	Intégrale	Résultat
a	\(\displaystyle\int_{0}^{2}(3x^2-2x)\,\mathrm{d}x\)
b	\(\displaystyle\int_{1}^{4}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\)
c	\(\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,\mathrm{d}x\)

2. Soit \(f(x)=x^2\) sur \([0,2]\). Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0,2]\). (1 pt)

Exercice 4 — suite

Calcul d'aires

2 points

3. Calculer l'aire, en unités d'aire, de la région limitée par la courbe de \(f(x)=x^2\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=2\). (1 pt)

4. Soit \(g(x)=x^2-4\) sur \([0,2]\). Étudier le signe de \(g\) sur \([0,2]\), puis calculer l'aire de la région limitée par la courbe de \(g\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=2\). (1 pt)

Attention au signe

Si \(f\) est négative sur \([a,b]\), alors l'aire vaut \(\displaystyle\int_{a}^{b}\bigl(-f(x)\bigr)\,\mathrm{d}x\). Toujours étudier le signe avant de conclure sur une aire.

Synthèse

À retenir absolument

Erreurs fréquentes

\((uv)'\neq u'v'\) : utiliser \(u'v+uv'\). De même \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\neq\dfrac{u'}{v'}\).
Ne pas oublier le facteur \(u'\) dans la dérivée d'une fonction composée.
Une primitive n'est jamais unique : ne pas oublier la constante \(k\).

Réflexes gagnants

Avant d'appliquer un théorème, vérifier la dérivabilité sur l'intervalle considéré.
Pour calculer une aire, étudier d'abord le signe de \(f\) sur l'intervalle.
Vérifier un résultat de primitive en le dérivant.

Bon travail

Devoir maison — Dérivées et Intégrales

Tronc commun scientifique · Barème total : 20 points

Rappel du barème

Exercice 1 — Dérivées : 5 points
Exercice 2 — Applications de la dérivation : 5 points
Exercice 3 — Primitives : 5 points
Exercice 4 — Intégrales et aires : 5 points

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